वास्तु-Āyādi: छह गुना परीक्षण के पीछे का अंकगणित

āyādi में प्रत्येक प्रचालक का आकार समान होता है। आयाम को एक छोटे स्थिरांक से गुणा करें, एक मापांक से विभाजित करें, शेष रखें। आधुनिक संकेतन में, (के × डी) मॉड एम। इसमें और कुछ नहीं है।

जो चीज इसे एक व्यायाम से अधिक बनाती है वह है मॉडुली का चयन। वे वास्तविक चक्रों की गिनती हैं-सात सप्ताह के दिन, सत्ताईस तारामंडल, तीस चंद्र दिन, बारह, दस और आठ के साथ। प्रणाली एक बार में पंचांग और श्रेणीबद्ध वलय के एक समूह पर एक एकल रैखिक आयाम को प्रक्षेपित कर रही है, और पढ़ रही है कि यह प्रत्येक पर कहाँ उतरता है।

यह वास्तव में एक सुरुचिपूर्ण रचना है, और यह स्पष्ट होने लायक है कि यह आधुनिक खारिज करने वाले अर्थों में नहीं अंकशास्त्र है। यह एक माप से लेकर श्रेणियों के एक समूह तक एक निर्धारक कार्य है। क्या उन श्रेणियों का मतलब है जो परंपरा कहती है कि उनका क्या मतलब है, यह एक अलग सवाल है, और अंकगणित की इस पर कोई राय नहीं है।

यह जितना लगता है उससे कहीं अधिक मायने रखता है, क्योंकि एक ही भाव पर "छह गुना परीक्षण" चलाने वाले दो चिकित्सक अलग-अलग कार्य चला सकते हैं।

Mānasāra प्रचालक को लंबाई, चौड़ाई और परिधि अलग से पर लागू करता है:

Mayamata प्रत्येक प्रचालक को एकल मात्रा (लंबाई + चौड़ाई) पर लागू करता है। Bhavan Bhāskar उत्पाद पर छह गुना गणना करता है, जिसे पाडा कहा जाता है। Vāsturatnākara piṇḍa पर नौ गुना गणना करता है।

चार ग्रंथ, चार अलग-अलग इनपुट। प्रचालक मान्यता से एक ही परिवार के हैं; वे जिस पर लागू होते हैं वह नहीं है। किसी भी कैलकुलेटर और किसी भी रीडिंग को यह घोषित करना चाहिए कि यह किस पाठ के बाद आता है। असहमत होने वाले दो परिणाम भाव के बारे में असहमति नहीं हो सकते हैं।

यह एकमात्र कार्यान्वयन जाल है, और इसमें फंसना आसान है।

दोनों Bhavan Bhāskar के काम करने वाले उदाहरण और Vāsturatnākara के शून्य के शेष को स्वयं विभाजक के रूप में पढ़ते हैं। 0 के धन को 12 पढ़ा जाता है; 0 के Aṃśa को 9 पढ़ा जाता है। एक नादान मॉडुलो 0 लौटाता है और चुपचाप केस को छोड़ देता है।

सही रूप है ((k × d − 1) mod m) + 1. कोई भी कार्यान्वयन जो उपयोग करता है (k × d) mod m प्रत्येक मीटर में ठीक एक इनपुट के लिए गलत है, और बाकी समय सही दिखाई देगा — जो सबसे खराब प्रकार का गलत है।

एक बार जब संख्या समाप्त हो जाती है, तो नियम एक तुलना है, और पुनरावृत्ति इस पर सहमत होती है, भले ही वे बाकी सभी चीजों पर असहमत हों: āya को व्याया से अधिक होना चाहिए। नुकसान पर लाभ। Mānasāra और Mayamata दोनों मात्राओं की अलग-अलग गणना करें और फिर उनके साथ एक ही काम करें।

Bhavan Bhāskar का अपना उदाहरण है: चौड़ाई 15 hāth, लंबाई 25 hāth, तो पाडा 375 है।

सभी छह सटीक रूप से प्रजनन करते हैं। पुस्तक का निर्णय — सप्ताह के दिन को छोड़कर सब कुछ शुभ — अपने स्वयं के अंकगणित से अनुसरण करता है।

Vāsturatnākara की नौ गुना गणना एक अलग मामला है। 687 के piṇḍa के लिए अपने स्वयं के मुद्रित उत्तरों के खिलाफ अपने मुद्रित ऑपरेटरों को चलानाः

नौ में से सात प्रजनन करते हैं। दो नहीं करते हैं — और मुद्रित Aṃśa प्रचालक केवल गलत नहीं है, यह है अपक्षय होता है: × 6 मॉड 6 प्रत्येक संभावित इनपुट के लिए समान रूप से शून्य है, जो किसी का नियम नहीं हो सकता है।

दो एकल-अंकीय परिवर्तन दोनों की मरम्मत करते हैं

• Vāra: गुणक 6 → 9। फिर 687 × 9 मॉड 7 = 2, किताब का अपना जवाब।
• Aṃśa: भाजक 6 → 9। फिर 687 × 6 मॉड 9 = 0, 9 के रूप में पढ़ा जाता है, जो पुस्तक का अपना उत्तर है।

उन दो परिवर्तनों के साथ सभी नौ ठीक से प्रजनन करते हैं। और सुधारों की स्वतंत्र रूप से पुष्टि की जाती है: Bhavan Bhāskar की छह गुना सूची, एक अलग पाठ और एक अलग वंशावली से, Vāra को × 9 मॉड 7 और Aṃśa को × 6 मॉड 9 के रूप में देती है-सटीक रूप से सही किए गए रूप।

यह एक प्रस्तावित सुधार है, न कि अनुमोदित। इसे मुद्रित संस्कृत के खिलाफ जांचा जाना चाहिए, इससे पहले कि कोई भी इसे तथ्य के रूप में कहीं भी दर्ज करे। यह प्रमाण कि यह एक वास्तविक संस्करण के बजाय एक संचरण त्रुटि है, मजबूत है — सही किए गए प्रचालक स्रोत के अपने उत्तरों को पुनः प्रस्तुत करते हैं, और बिना सही किए गए एक गणितीय रूप से असंभव है — लेकिन मजबूत साक्ष्य एक पांडुलिपि के समान नहीं है।

वही स्रोत नियमितताओं के एक समूह को सूचीबद्ध करता है ताकि अभ्यासकर्ता तालिका से परामर्श करने के बजाय उसे आंतरिक बना सके। उनमें से एक का कहना है कि चार शुभ āyas 1, 3, 5, 7 के लिए, ṛṇa 2, 1, 7, 5 चलता है।

ऊपर बताए गए ऑपरेटरों के साथ पूरी श्रृंखला में गणना की गई, यह 3, 1, 7, 5 चलता है। अंतिम तीन सहमत हैं। पहला नहीं है: 1 का एक āya 3 के एक ṛṇa को मजबूर करता है, और कोई भी इनपुट 2 का उत्पादन नहीं करता है।

प्रस्तावित सुधार के रूप में भी दर्ज किया गया, और अप्रमाणित भी। एक पाठ के एक पड़ोस में तीन संदिग्ध अंक प्रणाली में विश्वास खोने के कारण के बजाय पांडुलिपि पर किसी के ध्यान देने योग्य एक पैटर्न है — इसका बाकी हिस्सा अंक में पुनः उत्पन्न होता है।

इस लेख में प्रत्येक आकृति को सटीक पूर्णांक अंकगणित के साथ फिर से गणना की गई थी, जिसमें शून्य-के रूप में-मापांक परंपरा का उपयोग किया गया था, और इसे उस ऑपरेशन के साथ रिपोर्ट किया गया है जिसने इसे उत्पन्न किया था।

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